オックスフォード英英辞典によると、
not bat an eye : show no surprise or concern
つまり、顔色一つ変えずに、平然ととなります。
ニュースで使われていた文章
"Small and secluded, it's easy to pass On-ya without batting an eye"
意味：こじんまりとしていて引っ込んだ場所にある為、恩家は簡単に見過ごされます。
文章例
He spent $10,000 on a watch and didn’t bat an eye.
彼は1万ドルの時計を買っても気にしなかった。
Even when accused of lying, he didn’t bat an eye.
彼は嘘をついたと非難されても動じなかった。
Reference
①Rebecca Saunders(June26-27 2021). Using your noodle to find Tokyo's best udon. THE JAPAN TIMES WEEKEND, pp14.
②Oxford Dictionary of English ©︎ Oxford University Press 2010, 2017, 2019, 2020