オックスフォード英英辞典によると、
not bat an eye : show no surprise or concern
つまり、顔色一つ変えずに、平然ととなります。
ニュースでの使用例
"Small and secluded, it's easy to pass On-ya without batting an eye"
意味：こじんまりとしていて引っ込んだ場所にある為、恩家は簡単に見過ごされます。
Reference
①Rebecca Saunders(June26-27 2021). Using your noodle to find Tokyo's best udon. THE JAPAN TIMES WEEKEND, pp14.
②Oxford Dictionary of English ©︎ Oxford University Press 2010, 2017, 2019, 2020