オックスフォード英英辞典によると、
stare down : look fixedly at someone, typically in a hostile or intimidating way, until they feel forced to look away
つまり、にらみつける、（恐れずに）立ち向かうという意味になります。
ニュースで使われていた文章
"Amid overspending, Kyoto stares down threat of bankruptcy."
意味：支出過多の中、京都は破産の危機に立ち向かっている。
文章例
The two leaders stared each other down in silence.
2人の指導者は沈黙の中、にらみ合った。
She stared down her critics and continued to speak out.
彼女は批判者たちにひるまずに、発言を続けた。
Reference
①Eric Johnston(July3-4 2021). Amid overspending, Kyoto stares down threat of bankruptcy. THE JAPAN TIMES WEEKEND, pp2.
②Oxford Dictionary of English ©︎ Oxford University Press 2010, 2017, 2019, 2020